1、
已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于两点.
(1)求线段的长度;
(2)为坐标原点,为抛物线上一点,若,求的值.
【考点】
【答案】
(1)9(2)λ=0或λ=2.
【解析】
试题分析:第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式,先写出直线的方程,再与抛物线的方程联立方程组,设而不求,利用根与系数关系得出,然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式,求出弦长,第二问根据联立方程组解出的A、B两点坐标,和向量的坐标关系表示出点C的坐标,由于点C在抛物线上满足抛物线方程,求出参数值.
试题解析:
(1)直线AB的方程是y=2(x-2),与y2=8x联立,消去y得x2-5x+4=0,
由根与系数的关系得x1+x2=5.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,
(2)由x2-5x+4=0,得x1=1,x2=4,从而A(1,-2),B(4,4).
设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),
又y=8x3,即[2 (2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,
解得λ=0或λ=2.
【点睛】求弦长问题,一般采用设而不求联立方程组,借助根与系数关系,利用弦长公式去求;但是遇到抛物线的焦点弦长问题时,可直接利用焦半径公式,使用焦点弦长公式,求出弦长.遇到与向量有关的问题,一般采用坐标法去解决,根据联立方程组解出的A、B两点坐标,和向量的坐标关系表示出点C的坐标,由于点C在抛物线上满足抛物线方程,求出参数值.
题型:解答题
题类:
难度:一般
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