1、
已知在四棱锥中,底面是矩形,且,,平面,、分别是线段、的中点.
(1)证明:
(2)在线段上是否存在点,使得∥平面,若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.
(3)若与平面所成的角为,求二面角的余弦值
(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)
试题分析:(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线线垂直,只需要证明直线的方向向量垂直;(3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4)空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析:解法一:(1)∵平面,,,,建立如图所示的空间直角坐标系,则. 2分
不妨令∵,∴,
即. 4分
(2)设平面的法向量为,由,得,令,
得:.∴. 6分
设点坐标为,,则,要使∥平面,只需,即,得,从而满足的点即为所求. 8分
(3)∵,∴是平面的法向量,易得, 9分
又∵平面,∴是与平面所成的角,
得,,平面的法向量为 10分
∴,
故所求二面角的余弦值为. 12分
解法二:(1)证明:连接,则,,
又,∴,∴ 2分
又,∴,又,
∴ 4分
(2)过点作交于点,则∥平面,且有5分
再过点作∥交于点,则∥平面且,∴ 平面∥平面 7分 ∴ ∥平面.从而满足的点即为所求. 8分
(3)∵平面,∴是与平面所成的角,且.
∴ 9分
取的中点,则,平面,
在平面中,过作,连接,则,
则即为二面角的平面角 10分
∵∽,∴,∵,且
∴ ,,∴ 12分
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